Contributions à l’étude d’équations intégrodifférentielles déterministes et stochastiques

Résumé

Le sujet de cette thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations intégrodifférentielles déterministes et stochastiques. Les équations intégrodifférentielles apparaissent dans de nombreuses applications telles que la physique, la finance mathématique, la biologie, la telecommunication, etc. Ici, le cas aléatoire sera schématisé soit par un processus de Wiener, soit par un mouvement Brownien fractionnaire. Un mouvement Brownien est tel que ses petits accroissements modélisent bien le bruit blanc. \\ L'objectif est d'étudier les aspects quantitatifs et qualitatifs des équations intégrodifférentielles déterministes et stochastiques, plus précisément, il s'agirait d'établir sous des conditions bien définies les résultats d'existence, d'unicité, de stabilité et d'attractivité des classes d'équations intégrodifférentielles.\\ La principale méthode utilisée pour la résolution des équations est la théorie de l'opérateur résolvant au sens de Grimmer \cite{Grimmer}. Cette théorie sert de formulation abstraite aux équations intégrodifférentielles. D'autres outils, comme la théorie du point fixe et les théories d'analyses fonctionnelles et stochastiques, ont aussi servi à l'analyse de chaque classe d'équations considérée. Ces outils sont plus efficaces pour l'étude des équations intégrodifférentielles. \\ Cette thèse est composée de cinq (05) chapitres. Le premier introduit les outils nécessaires à la bonne compréhension de tous les autres chapitres. Le second chapitre est dédié à l'étude d'une classe d'équations intégrodifférentielles déterministes. Cette classe d'équations a été étudiée en utilisant la théorie de la mesure de non-compacité et la théorie du point fixe. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'une classe d'équations intégrodifférentielles stochastiques à condition non-locale. L'avant-dernier chapitre établit les conditions d'existence et d'unicité de solution faible du système stochastique \eqref{e1}, avant d'établir les conditions de la stabilité exponentielle. Le dernier traite les équations intégrodifférentielles stochastiques impulsives à retard fini. Plus précisément, il établit les ensembles attractifs et quai-invariants et étudie la stabilité exponentielle du système stochastique \eqref{A}. Dans l'optique de prouver l'applicabilité de nos différents résultats abstraits, nous avons, pour chaque classe d'équations étudiée, présenté un exemple illustratif pour soutenir la faisabilité de nos résultats abstraits trouvés.

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