RELÈVEMENT CANONIQUE DE SURFACES ABÉLIENNES

Résumé

Nous avons calculé des polynômes modulaires en dimension 2 avec bonne réduction en toute caractéristique en fonction des invariants arithmétiques d’Igusa. En utilisant les conditions de Kronecker sur ces polynômes modulaires, nous donnons une méthode pour calculer le relevé canonique de toute courbe ordinaire de genre 2 en caractéristique paire. Soient p un nombre premier et A_g (Γ_0(p)) l’espace de module de Siegel des variétés abéliennes, muni d’une structure de niveau Γ_0(p). Nous avons établi l’énoncé des conditions de Kronecker sur le lieu A(0) des points ordinaires de A_g(Γ (p)) ; cette propriété généralise le résultat bien connu en dimension 1 sous le même nom. D’un autre côté, nous avons introduit des méthodes de Newton pour calculer le relevé du Verschiebung sur Z_q dans chaque cas. Ces résultats nous ont permis de déterminer le polynôme caractéristique d’une courbe de genre 2 en O(n^2) opérations sur F_p, en utilisant des polynômes de Siegel et des polynômes de Hilbert en fonction des invariants Thêta et invariants de Gundlach. En outre, on peut utiliser ces méthodes pour calculer les formes modulaires (vectorielles) associées à ces courbes. Nous avons réduit considérablement les complexités dans les calculs de relevé canonique en proposant des méthodes qui n’utilisent pas de polynômes modulaires et en dimension 1 nous proposons un algorithme qui calcule le relevé canonique en O(pn^2). Nous donnons une description détaillée avec les optimisations nécessaires pour des implémentations éfficaces.

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