Lois gaussiennes inverses (généralisées), lois de Kummer et méthode de Stein

Résumé

Dans cette thèse, nous apportons une contribution à l'étude des propriétés des lois gaussiennes inverses généralisées et de Kummer dans le contexte de la méthode de Stein. Il s'agit d'une part de contribuer à la mise en place des outils mathématiques nécessaires à l'application de la méthode de Stein au cas où la loi cible est l'une des deux lois précitées, d'autre part, d'appliquer la méthode de Stein pour donner une borne de la vitesse de convergence dans des théorèmes limites impliquant ces deux lois. Nous retrouvons l'opérateur de Stein de chacune de ces deux lois, résolvons l'équation différentielle correspondante et bornons la solution obtenue ainsi que ses dérivées successives (les bornes des dérivées ne sont pas toujours explicites mais obtenues par une méthode itérative). Les techniques utilisées pour obtenir les bornes de la solution et de ses dérivées sont essentiellement basées sur le fait que ces deux lois appartiennent à la famille de lois de probabilité dont la densité g vérifie l'équation différentielle (s(x)g(x))^'=τ(x)g(x) avec s et τ des fonctions polynômes satisfaisant certaines conditions. Par la méthode de Stein, nous établissons une borne pour la vitesse de convergence des lois gaussiennes inverses généralisées et de Kummer vers la loi gamma, de la loi hyperbolique généralisée vers la loi gaussienne inverse généralisée et d'une suite de variables apparaissant dans un contexte de résistances aléatoires vers la loi gaussienne inverse réciproque. Notre démarche dans l'estimation de ces vitesses de convergence par la méthode de Stein est basée essentiellement sur le fait que la loi de la suite de variables aléatoires considérées et la loi limite sont impliquées dans une relation de convolution.

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