Analyse globale de quelques modèles épidémiologiques :Application à des modèles de la bilharziose

Résumé

La Bilharziose est une maladie très grave, car elle est difficile à traiter. Elle a un cycle de vie complexe qui la rend difficile à éradiquer. Le cycle de transmission nécessite la contamination des eaux de surface par les excréments, les escargots d'eau douce spécifiques comme hôtes intermédiaires, et le contact humain avec l'eau. La Bilharziose est une maladie parasitaire qui a récemment attiré l'attention accrue sur des moyens de lutte. L'éradication de la bilharziose demeure tout de même un défi. Une compréhension détaillée de la transmission de cette maladie est cruciale pour son endiguement. La thèse est basée sur des théories et techniques des systèmes dynamiques pour étudier la dynamique qualitative de la bilharziose, une maladie d'importance majeure en santé publique. Cette étude est d'élaborer un cadre théorique dans la modélisation mathématique de la bilharziose et d'explorer des moyens de luttes efficaces. Les modèles mathématiques peuvent donner un aperçu de l'impact potentiel des interventions. L'interaction complexe de différentes stratégies de contrôle de l'infection, et leur impact probable sur la transmission peuvent être prédits en utilisant des modèles mathématiques. Durant cette dernière décennie, il y a eu des travaux considérables sur la modélisation mathématique de l'infection de la Schistosomiase. Notre travail fait partie de cet effort de compréhension des modèles de Allen \textit{et al } \cite{allen2003modelling} et Qi \textit{et al} \cite{qi2013schistosomiasis}. Cette thèse a examiné les bases et des cadres théoriques de la modélisation mathématique des maladies infectieuses en mettant l'accent sur la modélisation de la bilharziose. Une description de modèles portant sur différents contrôles de la maladie est faite. Ces modèles sont d'apparition relativement récente et décrivent la dynamique de la transmission de la maladie, ainsi que l'impact des moyens de lutte en santé publique. La première étude décrit et propose un modèle de transmission de la bilharziose structuré en compartiments. Ces modèles préconisent l'impact de la lutte biologique comme moyen d'endiguement de la maladie. Nous apporterons une justification rigoureuse des résultats dans Allen \textit{et al } avant de proposer une extension naturelle de leur modèle et de faire l'analyse mathématique complète. L'existence et l'unicité des solutions aux modèles sont établies. Les modèles sont analysés en utilisant la théorie de la stabilité des équations différentielles et des simulations numériques. Nous établissons la stabilité asymptotique et globale de l'équilibre sans maladie (DFE) lorsque le taux de reproduction de base $\mathcal R_0\leq1$; ce qui signifie que tous les parasites responsables de la maladie disparaissent et la maladie devient contrôlable. Nous obtenons également une condition de stabilité asymptotique globale de l'équilibre endémique lorsque $\mathcal R_0>1$. La deuxième étude construit des modèles d'observateurs pour l'estimation de la taille des populations d'escargots: la méthode de l'observateur grand gain, d'un observateur simple et celle de l'observateur à intervalles sont revisitées. Cette étude a montré que le modèle simple peut donner un aperçu puissant dans la diffusion de la bilharziose. Une estimation des paramètres de vecteur est en grand besoin dans la modélisation mathématique et le contrôle de la bilharziose. La troisième étude décrit un nouveau modèle mettant l'accent sur le genre des schistosomes avec une fonction d'accouplement des parasites. Le modèle considère l'impact de la lutte par la chimiothérapie sur les différents types de schistosomes suivant le genre. Leur analyse mathématique du modèle est cependant obsolète et ne justifie pas rigoureusement leurs conclusions sur l'impact de cette lutte. Nous ferons une étude mathématique exhaustive de ce modèle. Nous calculons le nombre de reproduction de base et discutons l'existence et la stabilité de l'équilibre sans maladie, de l'équilibre endémique et la persistance de la maladie.

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