STABILITÉ DE L’ESPACE-TEMPS DE De-SITTER POUR LE SYSTÈME D’EINSTEIN-MAXWELL-KLEIN-GORDON AVEC CONSTANTE COSMOLOGIQUE POSITIVE

Résumé

Les équations de Maxwell-Klein-Gordon (MKG) sont un système d’équations non linéaires qui modélisent le mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique. Dans ce travail, nous considérons le système d’Einstein-Maxwell-Champ Scalaire avec constante cosmologique positive (EMSC) qui est ainsi une forme générale des équations de MKG et nous étudions la stabilité asymptotique dans le futur des solutions de ce système. Cette étude apparaît comme une généralisation des travaux de Dongho Chae [7] et de Costa et al [15]. En effet, nous modifions le cadre développé par Chae dans [7] pour étudier le système d’Einstein-Maxwell-Champ Scalaire sans constante cosmologique en introduisant une constante cosmologique positive > 0. D’autre part, le système d’Einstein-Champ Scalaire avec constante cosmologique positive (ECS) étudié par Costa et al dans [15] devient un cas particulier du système dEMCS étudié ici ; puisque nous considérons un champ scalaire complexe contrairement au choix d’un champ scalaire réel fait par Costa et al. Pour atteindre ce but, nous choisissons comme cadre géométrique l’espace-temps à symétrie sphérique de Bondi dans lequel nous écrivons le système dEMCS en coordonnées de Bondi et nous remarquons que le contenu complet du système se réduit en une seule équation aux dérivées partielles (intégro-différentielle) non linéaire du premier ordre équivalente au système. Pour étudier le problème de Cauchy associé à cette équation intégro-différentielle équivalente, nous prescrivons la donnée initiale sur un cône isotrope. Avec une telle donnée initiale choisie suffisamment petite, nous démontrons que cette équation admet une unique solution locale et globale en temps de Bondi. Nous montrons aussi que l’espace-temps est asymptotiquement de De-Sitter et est géodésiquement complète vers le futur : il s’agit d’un résultat de stabilité non linéaire de De-Sitter pour le système dEMCS mais aussi d’une réalisation de la Censure cosmique.

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