Sur des Propriétés Algébriques et Géométriques des Applications Quasi-Affines Usuelles des Espaces Discrets Z^{n}.

Résumé

Cette thèse se situe dans le domaine de la géométrie discrète, plus précisément sur les applications quasi-affines. Ces applications étant définies dans Z^{n}, la question majeure se repose sur la vérification des théorèmes et des propriétés valides pour les applications affines définies dans les espaces continus. Dans cette thèse, nous nous sommes posé la question fondamentale que voici après avoir introduit le concept d’application quasi-affine bijective : La structure de groupe de l’ensemble des applications affines bijectives des espaces continus ainsi que de certains de ses sous-ensembles particuliers (ensemble des translations, des homothéties, des rotations) est-elle conservée dans le cas des applications affines des espaces discrets ? Ce travail a montré qu’en général, l’ensemble des applications quasi-affines bijectives possède une structure de groupe, excepté les rotations pythagoriciennes. Nous avons aussi réalisé une étude comparative entre les propriétés algébriques et géométriques de quelques applications affines et celles de leurs variantes en géométrie discrète. Nous avons constaté que des propriétés telles que la conservation de la distance, la conservation de l’alignement des droites ne sont vérifiées que par quelques applications quasi-affines. Cette nouvelle approche sur les applications discrètes bijectives, en occurrence les applications quasi-affines bijectives, a l’avantage de permettre la conservation des propriétés géométriques d’une image numérique. L’étude algorithmique des applications quasi-affines bijectives ouvrira un champ sur le traitement d’image.

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