LA DEMONSTRATION PAR L´ABSURDE -VARIABLES DIDACTIQUES

Résumé

La présente thèse a comme thème « La démonstration par l’absurde : Etude épistémologique et Didactique ». Elle comporte une partie théorique et une partie expérimentale. La partie théorique comporte l’étude épistémologique de la démonstration par l’absurde, l’étude épistémologique de la négation qui constitue la base de la démonstration par l’absurde, la revue de la littérature, la problématique, les questions de recherche, le cadre théorique, la méthodologie de recherche, l’étude mathématique de la démonstration par l’absurde et la classification des problèmes. L’étude épistémologique a permis d’évoquer les conceptions de certains chercheurs sur la démonstration par l’absurde, de faire le lien entre la démonstration par l’absurde et d’autres types de démonstration (la déduction, la récurrence et la contraposée) et de constater que les quatre types de démonstration ont en commun la démonstration d’une implication. La revue de la littérature, ayant porté sur le travail d’étude et de recherche (TER) de Anne Scholl; le travail d’étude et de recherche (TER) de Anne Bachellet; le travail d’étude et de recherche(TER) de Olivier Tavan et le mémoire de Vinciane CAMBRÉSY-TANT, Dominique CAMBRÉSY et Stéphane CARPENTIER. « Autour du raisonnement par l'absurde » nous a permis de constater que ces auteurs ne se sont pas penchés sur l’étude didactique de la démonstration par l’absurde. La problématique est relative au rôle que la démonstration par l’absurde joue dans les pratiques de classe et dans les manuels scolaires et son absence dans les programmes. Les questions de recherche sont libellées comme suit : Qu’est-ce que la démonstration par l’absurde en mathématique ? Existe-t-il un lien entre la démonstration par l’absurde et d’autres types de démonstration ? Existe-t-il des situations qui nécessitent l’utilisation de la démonstration par l’absurde ? Au regard d’un énoncé, le futur enseignant reconnait-il la nécessité d’une démonstration par l’absurde ou alors peut-il le transformer de manière qu’une démonstration par l’absurde s’impose ? Le cadre théorique est basé essentiellement sur la théorie des situations didactiques et la transposition didactique. La méthodologie de recherche est basée sur l’ingénierie didactique. L’étude mathématique de la démonstration par l’absurde, nous a permis d’analyser cette méthode de démonstration comme savoir de référence, et de faire son interprétation logique. La classification des problèmes nous a permis de faire le choix des variables didactiques et de faire une catégorisation des types de démonstration par l’absurde à savoir les démonstrations par l’absurde directes associées aux questions fermées et les démonstrations par l’absurde indirectes associées aux questions semi-fermées (ou semi-ouvertes). La partie expérimentale comporte le choix et l’analyse a priori de six problèmes, La passation des items en deux séances, l’analyse à postériori des productions. Les six problèmes ont été proposés à des élèves-professeurs de l’Ecole Normale Supérieure de Bamako pour éventuellement connaitre leur rapport à la démonstration par l’absurde. Chaque séance de la passation des items a porté sur trois problèmes. La première séance a permis de mettre les élèves-professeurs en situation de résolution de problème par la méthode de démonstration par l’absurde et la deuxième a permis de trouver des réponses à nos questions de recherche. L’analyse à postériori comporte l’analyse par rapport aux variables didactiques, l’analyse par rapport aux questions de recherche et l’analyse par rapport au cadre théorique. L’analyse a postériori nous a permis de constater la confirmation de l’hypothèse à savoir que la démonstration par l’absurde pose des difficultés aux professeurs de l’enseignement secondaire. Dans la conclusion nous avons évoqué des perspectives.

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