Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades et Applications en Finance

Résumé

L'axe principal autour duquel s'articule le travail de cette thèse est l'étude théorique de certaines équations différentielles stochastiques rétrogrades avec un coefficient stochastique Lipschitz. L'étude que nous avons menée a été motivée par l'évaluation des options financières dirigées par le modèle de Black et Scholes avec des paramètres non-déterministes (processus stochastiques). On s'intéresse aux résultats d'existence et d'unicité des différents types d'équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies en trois points de vue pour le processus de réflexion: le cadre continu, continu à droite et optionnel. Le premier cadre est consacré à l'étude du problème des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies à deux barrières continues. Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution de ce type d'équation sous la condition de stochastique Lipschitz sur le générateur et la condition de régularité sur l'une des barrières. Nous démontrons aussi le résultat correspondant au cas où les barrières sont strictement séparées. Ces équations sont liées aux problèmes de couverture des options Américaines de jeux, alors on a proposé d'étudier un modèle de Black et Scholes généralisé avec lequel on détermine le prix d'actualisation de ces options. Dans le deuxième cadre, on traite l'existence et l'unicité de la solution des équations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts et réfléchies à deux barrières continues à droite et strictement séparées. Comme application, nous considérons les options Américaines de jeux avec un payoff continu à droite. Le troisième cadre est dédié à l'étude de la question d'existence et d'unicité de la solution des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur une barrière ou deux barrières qui ne sont pas nécessairement continue à droite. Dans ce cadre, on distingue deux cas: 1. Le premier concerne des barrières semi-continues supérieurement à droite dont nous considérons les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies à une barrière dans une filtration Brownienne sous la condition de stochastique Lipschitz sur le générateur, puis on caractérise les mesures de risque dynamique en termes des solutions de ce type d'équations. D'autre part, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts et réfléchies à deux barrières sous la condition de Mokobodski et la condition de stochastique Lipschitz sur le générateur. Un problème de jeu de Dynkin généralisé est ensuite étudié dont nous montrons l'existence d'une fonction valeur du jeu qui coïncide avec la solution des équations étudiées. 2. Le deuxième concerne des barrières totalement irrégulières (làdlàg). On s'intéresse à prouver quelques caractérisations de l'enveloppe de Snell sous les temps d'arrêts divisés d'un processus positive làdlàg. Ces caractérisations permettent d'obtenir de nouveaux résultats sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies à une barrière complétement irrégulière. D'autre part, nous présentons une extension des équations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts et réfléchies à deux barrières complétement irrégulières et dans une filtration générale qui n'est pas forcément quasi-continue à gauche. Nous prouvons les résultats d'existence et d'unicité de la solution qui représente une fonction valeur d'un jeu de Dynkin sous les nommés systèmes d'arrêts. Ainsi, nous étudions une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, dont la particularité est que le bruit est dirigé par une martingale normale continue à droite. On caractérise dans un cadre markovien la solution de ce type d'équation comme l'unique solution de viscosité d'un problème d'obstacle des équations aux dérivées partielles non-linéaires paraboliques.

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