Topologie de courbes algébriques planes et projection de surfaces analytiques réelles.

Résumé

Cette thèse traite de la représentation topologique d’objets géométriques définis de façon implicite. La résolution de ce type de problème relève du domaine de la géométrie algorithmique. Soit VR(P) une courbe algébrique réelle plane définie comme étant le lieu des zéros d’un poly- nôme sans facteur carré P ∈ Z[X,Y] de magnitude (d,τ). Le premier résultat principal présenté dans ce manuscrit est un algorithme qui calcule un complexe simplicial isotope à VR(P) sans pas- ser par une mise en position générique de VR(P) avec seulement O ̃(d5τ+d6) opérations binaires. Il constitue une alternative à l’algorithme de Mehlhorn et al., dont le succès repose sur un processus aléatoire de détermination d’une position générique de VR(P). La deuxième contribu- tion principale de cette thèse est un algorithme permettant de calculer le graphe des singularités d’une surface analytique réelle Ω ⊂ R3 : étant donnée une surface analytique réelle lisse M défi- nie comme une intersection de deux hypersurfaces réelles dans R4, la surface Ω est l’image de M par la projection canonique de R4 dans R3. La surface Ω comporte, en général, des singularités. Le calcul du graphe des singularités apparait donc comme un problème sous-jacent dans l’étape de la reconstruction de la topologie globale de Ω.

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