Contrôle optimal des systèmes semi-linéaires

Résumé

L'objet de cette thèse est d'analyser le problème du contrôle optimal des systèmes semi-linéaires. Nous considérons un système dont le terme non-linéaire est affine par rapport au contrôle, et non-linéaire par rapport à l'état, ce qui permet de modéliser une classe importante d'EDP semi-linéaires, paraboliques et hyperboliques. Le problème considéré consiste à minimiser une fonction coût sur un ensemble convexe fermé de contrôles admissibles. Moyennant des hypothèses de compacité, l'existence d'un contrôle optimal est établie pour quatre classes de systèmes, dont deux concernent le cas où l'espace des contrôles n'est pas réflexif. En différentiant la fonction coût, nous établissons une condition nécessaire d'optimalité sous la forme d'une inégalité variationnelle. Cette condition d'optimalité est reformulée par une condition géométrique en introduisant la notion de vecteur normal, ce qui permet de caractériser le contrôle optimal pour plusieurs classes de systèmes, et pour divers cas de contrôles admissibles. Nous formulons ensuite une condition suffisante assurant l'unicité du contrôle optimal, dans le cas où l'espace des contrôles est un espace de Hilbert, et nous développons des algorithmes permettant de calculer numériquement ce contrôle. Finalement, les résultats obtenus sont illustrés par des exemples et des simulations.

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